Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 968

Номер 968 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Краткое решение

Пусть 2n−12n - 1 и 2n+12n + 1 — два последовательных нечётных числа, где nn — целое число.

Составим разность их квадратов:

(2n+1)2−(2n−1)2=((2n+1)−(2n−1))⋅((2n+1)+(2n−1))=(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = ((2n + 1) - (2n - 1)) \cdot ((2n + 1) + (2n - 1)) =
=(2n+1−2n+1)⋅(2n+1+2n−1)=2⋅4n=8n.= (2n + 1 - 2n + 1) \cdot (2n + 1 + 2n - 1) = 2 \cdot 4n = 8n.

Полученное выражение 8n8n кратно 8, так как содержит множитель 8.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Нечётные числа

1. Любое нечётное число можно представить в виде формулы 2n+12n + 1 или 2n−12n - 1, где nn — любое целое число.
2. Разность между двумя соседними нечётными числами всегда равна 2.

Для доказательства выполним следующие шаги:

  1. Обозначим последовательные нечётные числа как 2n−12n - 1 и 2n+12n + 1.
  2. Запишем выражение для разности их квадратов (из квадрата большего числа вычтем квадрат меньшего):
    (2n+1)2−(2n−1)2(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2
  3. Применим формулу разности квадратов a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) для упрощения:
    ((2n+1)−(2n−1))⋅((2n+1)+(2n−1))((2n + 1) - (2n - 1)) \cdot ((2n + 1) + (2n - 1))
  4. Раскроем внутренние скобки:
    • В первой скобке: 2n+1−2n+1=22n + 1 - 2n + 1 = 2.
    • Во второй скобке: 2n+1+2n−1=4n2n + 1 + 2n - 1 = 4n.
  5. Перемножим полученные результаты:
    2⋅4n=8n2 \cdot 4n = 8n
  6. Так как результат 8n8n делится на 8 нацело при любом целом nn, утверждение доказано.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...