Главная / 6 класс / Математика Виленкин / 6.68

Упражнение 6.68 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

Развивай мышление. Вычислите наиболее простым способом:

11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5+15⋅6+16⋅7+17⋅8+18⋅9+19⋅10\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}

Краткое решение

Используем свойство: 1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

=(1−12)+(12−13)+⋯+(19−110)== (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) =
=1−12+12−13+⋯+19−110== 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} =
=1−110=910=0,9= 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0,9

Ответ: 0,9.

Подробное решение

Секрет быстрого счета: Каждую дробь вида 1n⋅(n+1)\frac{1}{n \cdot (n+1)} можно представить как разность:
1n−1n+1\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Например: 12⋅3=16\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} и 12−13=36−26=16\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.

Запишем каждое слагаемое в виде разности:

  • 11⋅2=1−12\frac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2}
  • 12⋅3=12−13\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
  • 13⋅4=13−14\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}
  • ... и так далее.

Подставим это в наше выражение:

(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(19−110)\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)

Раскроем скобки. Заметим, что все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (например, −12+12=0-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0):

1−12+12⏟0−13+13⏟0−…−19+19⏟0−1101 \underbrace{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}_{0} \underbrace{- \frac{1}{3} + \frac{1}{3}}_{0} - \dots \underbrace{- \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}_{0} - \frac{1}{10}

Остается только первое и последнее число:

1−110=1010−110=9101 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}
910=0,9\frac{9}{10} = 0,9

Ответ: 0,9.

💡 Похожие задачи

Интересные задачи на дроби:

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...