Главная / 6 класс / Математика Виленкин / 2.76

Упражнение 2.76 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

а) Сколькими способами могут разместиться 9 зрителей домашнего спектакля на девяти стульях?

б) Сколькими способами могут разместиться зрители на этих стульях, если один из них пойдёт помогать артистам?

Краткое решение

а) 9 зрителей на 9 стульях:

Это число перестановок P9P_9 (9-факториал).

P9=9!=9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=362880(способов)P_9 = 9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362 880 (\text{способов})

б) 8 зрителей на 9 стульях:

Это число размещений A98A_9^8 (8 из 9).

A98=9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2=362880(способов)A_9^8 = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 362 880 (\text{способов})

Ответ: а) 362 880; б) 362 880.

Подробное решение

Правила:
  • Перестановки (PnP_n): Число способов, которыми можно упорядочить nn различных объектов. Pn=n!P_n = n!.
  • Размещения (AnkA_n^k): Число способов выбрать и упорядочить kk объектов из nn. Ank=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1).

а) Сколькими способами могут разместиться 9 зрителей на 9 стульях?

Это задача на **перестановки** 9 различных объектов (зрителей) на 9 местах (стульях). Нам нужно найти P9P_9 (9-факториал).

P9=9!=9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1P_9 = 9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
P9=72⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=504⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1P_9 = 72 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 504 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
P9=3024⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=15120⋅4⋅3⋅2⋅1P_9 = 3024 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 15120 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
P9=60480⋅3⋅2⋅1=181440⋅2⋅1=362880(способов)P_9 = 60480 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 181440 \cdot 2 \cdot 1 = 362 880 (\text{способов})

б) Сколькими способами могут разместиться зрители (8 человек) на 9 стульях?

Один зритель ушел, осталось 8 зрителей (9−1=89 - 1 = 8). Теперь нам нужно разместить 8 различных зрителей на 9 различных стульях. Порядок важен.

Это задача на **размещения** k=8k=8 объектов из n=9n=9. A98A_9^8.

  • У 1-го зрителя 9 вариантов сесть.
  • У 2-го зрителя 8 вариантов.
  • ...
  • У 8-го зрителя 2 варианта.
A98=9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2=362880(способов)A_9^8 = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 362 880 (\text{способов})

(Это то же самое, что и 9!, потому что размещение 8 зрителей на 9 стульях эквивалентно размещению 9 "объектов" (8 зрителей + 1 пустой стул) на 9 стульях).

Ответ:

  • а) 362 880 способов
  • б) 362 880 способов

💡 Похожие задачи

Задачи на комбинаторику (перестановки, размещения, сочетания):

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...