Главная / 6 класс / Математика Виленкин / 2.347

Упражнение 2.347 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

Сколькими способами можно выбрать четырёх участников марафона из 16 человек16 \text{ человек}?

Краткое решение

1) Если бы порядок был важен, вариантов было бы:

16⋅15⋅14⋅13=4368016 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 = 43680

2) Так как порядок в группе не важен, узнаем, сколькими способами можно переставить 4 человек:

4⋅3⋅2⋅1=244 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

3) Делим варианты с учетом порядка на число перестановок:

43680:24=182043680 : 24 = 1820

Ответ: 1820 способами.

Подробное решение

В этой задаче нам нужно выбрать 4 человека из 16, причем порядок, в котором мы их выбираем, не имеет значения (группа из Иванова, Петрова, Сидорова и Смирнова — это та же группа, что и Петров, Иванов, Смирнов и Сидоров).

Шаг 1. Сколько всего выборок, если бы порядок был важен?

Рассуждаем по правилу умножения:

  • Первого участника можно выбрать 16 способами.
  • Второго участника можно выбрать 15 способами (один уже выбран).
  • Третьего — 14 способами.
  • Четвертого — 13 способами.
16⋅15⋅14⋅13=4368016 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 = 43680

Шаг 2. Сколько лишних (повторяющихся) выборок мы посчитали?

В шаге 1 мы посчитали, например, выбор (Иванов, Петров, Сидоров, Смирнов) и (Петров, Иванов, Сидоров, Смирнов) как два разных. Но это одна и та же группа. Нам нужно узнать, сколькими способами можно переставить 4 человек.

4⋅3⋅2⋅1=244 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

Это значит, что каждую уникальную группу из 4 человек мы посчитали 24 раза.

Шаг 3. Находим реальное число способов.

Чтобы убрать повторы, разделим общее число "упорядоченных" выборок (из Шага 1) на число перестановок (из Шага 2):

16⋅15⋅14⋅134⋅3⋅2⋅1=4368024=1820\frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{43680}{24} = 1820

Сокращение дроби :

16⋅15⋅14⋅134⋅3⋅2⋅1=(16:4)⋅(15:3)⋅(14:2)⋅131=4⋅5⋅7⋅13=1820\frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{(16:4) \cdot (15:3) \cdot (14:2) \cdot 13}{1} = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 1820

Ответ: Четырёх участников марафона можно выбрать 1820 способами.

💡 Похожие задачи

Задачи на комбинаторику (выбор без учета порядка).

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...