Главная / 6 класс / Математика Виленкин / 2.240

Упражнение 2.240 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

Краткое решение

1. Переместительное свойство (Доказательство):

Сложение дробей сводится к сложению числителей (a+ba+b), которые являются натуральными числами. Для них действует a+b=b+aa+b = b+a.

an+bn=a+bn=b+an=bn+an\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n} = \frac{b+a}{n} = \frac{b}{n} + \frac{a}{n}

2. Сочетательное свойство (Доказательство):

Сложение дробей сводится к сложению числителей ((a+b)+c(a+b)+c). Для натуральных чисел действует (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c = a+(b+c).

(an+bn)+cn=(a+b)+cn=a+(b+c)n=an+(bn+cn)\left(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}\right) + \frac{c}{n} = \frac{(a+b)+c}{n} = \frac{a+(b+c)}{n} = \frac{a}{n} + \left(\frac{b}{n} + \frac{c}{n}\right)

Ответ: Свойства доказаны.

Подробное решение

Основа доказательства: Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями (an+bn=a+bn\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n}) сводит сложение дробей к сложению их числителей. Числители (aa, bb, cc) — это натуральные числа. Для натуральных чисел переместительное (a+b=b+aa+b = b+a) и сочетательное ((a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c = a+(b+c)) свойства уже известны.

1. Доказательство переместительного свойства (an+bn=bn+an\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{b}{n} + \frac{a}{n})

1. Возьмем левую часть равенства и применим правило сложения дробей:

an+bn=a+bn\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n}

2. Так как aa и bb — натуральные числа, для их суммы a+ba+b в числителе действует переместительное свойство натуральных чисел: a+b=b+aa+b = b+a.

a+bn=b+an\frac{a+b}{n} = \frac{b+a}{n}

3. Применим правило сложения дробей в обратном порядке:

b+an=bn+an\frac{b+a}{n} = \frac{b}{n} + \frac{a}{n}

4. Мы получили: an+bn=bn+an\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{b}{n} + \frac{a}{n}. Свойство доказано.

2. Доказательство сочетательного свойства ((an+bn)+cn=an+(bn+cn)\left(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}\right) + \frac{c}{n} = \frac{a}{n} + \left(\frac{b}{n} + \frac{c}{n}\right))

1. Возьмем левую часть равенства и последовательно применим правило сложения дробей:

(an+bn)+cn=a+bn+cn=(a+b)+cn\left(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}\right) + \frac{c}{n} = \frac{a+b}{n} + \frac{c}{n} = \frac{(a+b)+c}{n}

2. Так как a,b,ca, b, c — натуральные числа, для их суммы в числителе действует сочетательное свойство натуральных чисел: (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c = a+(b+c).

(a+b)+cn=a+(b+c)n\frac{(a+b)+c}{n} = \frac{a+(b+c)}{n}

3. Применим правило сложения дробей в обратном порядке (разбиваем числитель):

a+(b+c)n=an+b+cn=an+(bn+cn)\frac{a+(b+c)}{n} = \frac{a}{n} + \frac{b+c}{n} = \frac{a}{n} + \left(\frac{b}{n} + \frac{c}{n}\right)

4. Мы получили: (an+bn)+cn=an+(bn+cn)\left(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}\right) + \frac{c}{n} = \frac{a}{n} + \left(\frac{b}{n} + \frac{c}{n}\right). Свойство доказано.

💡 Похожие задачи

Эта задача на теоретическое обоснование свойств дробей, опираясь на свойства натуральных чисел.

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...