Упражнение 2.106 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

1. Отвечаем на вопрос "Какие числа МОГУТ БЫТЬ взаимно простыми?"

Мы ищем хотя бы один пример, для которого НОД = 1.

• а) Два чётных числа: Нет, не могут. Любое чётное число делится на 2. Значит, у них всегда есть общий делитель 2 (или больше). $\text{НОД}(a, b) \ge 2$.
• б) Чётное и нечётное: Да, могут. Пример: 4 (чётное) и 9 (нечётное). Делители 4: 4. Делители 9: 9. $\text{НОД}(4, 9) = 1$.
• в) Два простых числа: Да, могут. Пример: 5 и 7. У каждого из них только два делителя (1 и само число). $\text{НОД}(5, 7) = 1$.
• г) Простое и составное: Да, могут. Пример: 7 (простое) и 10 (составное). $\text{НОД}(7, 10) = 1$.
• д) Два последовательных натуральных числа: Да, могут. Пример: 8 и 9. $\text{НОД}(8, 9) = 1$.

2. Отвечаем на вопрос "Какие числа ВСЕГДА взаимно простые?"

Мы ищем свойство, которое верно для любой пары чисел данного типа.

• а) Два чётных числа: Нет, не всегда. (Они никогда не взаимно простые, так как оба делятся на 2).
• б) Чётное и нечётное: Нет, не всегда. Контрпример: 6 (чётное) и 9 (нечётное). $\text{НОД}(6, 9) = 3$.
• в) Два простых числа: Нет, не всегда. Контрпример: если взять два одинаковых простых числа, например 5 и 5. $\text{НОД}(5, 5) = 5$. (Если бы в условии было "два различных простых числа", ответ был бы "да").
• г) Простое и составное: Нет, не всегда. Контрпример: 7 (простое) и 14 (составное, $=2 \cdot 7$). $\text{НОД}(7, 14) = 7$.
• д) Два последовательных натуральных числа: Да, всегда. Любые два последовательных числа $n$ и $n+1$ не имеют общих делителей, кроме 1. (Доказательство: их разность $(n+1) - n = 1$. Любой их общий делитель должен также делить и их разность, то есть 1. Единственный такой делитель - это 1). $\text{НОД}(n, n+1) = 1$.

Ответ:

1) Могут быть: б), в), г), д).

2) Всегда: д).