Упражнение 2.104 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

1. Рассмотрим дробь $\frac{n}{20}$.

Разложим знаменатель 20 на простые множители:

Знаменатель 20 содержит только простые множители 2 и 5. Это означает, что любая дробь со знаменателем 20 будет конечной десятичной.

Вопрос: могут ли $n$ и 20 быть взаимно простыми? Да. Например, если $n=1$, то 1 и 20 взаимно просты. При этом дробь $\frac{1}{20} = 0,05$ является конечной десятичной. То же самое верно для $n=3$ ( $\frac{3}{20} = 0,15$ ) и т.д.

Вывод: Да, для дроби $\frac{n}{20}$ числитель и знаменатель могут быть взаимно простыми.

2. Рассмотрим дробь $\frac{c}{30}$.

Разложим знаменатель 30 на простые множители:

Знаменатель 30 содержит простой множитель 3.

По условию, дробь $\frac{c}{30}$можно представить в виде конечной десятичной. Согласно правилу, это возможно только в том случае, если "мешающий" множитель 3 в знаменателе сократится. А сократиться он может только с таким же множителем в числителе.

Это означает, что числитель $c$обязан делиться на 3.

Если $c$ делится на 3 и знаменатель 30 ( $=3 \cdot 10$ ) тоже делится на 3, то у них есть общий делитель 3. Два числа, имеющие общий делитель (кроме 1), по определению не являются взаимно простыми.

Вывод: Нет, для дроби $\frac{c}{30}$ числитель $c$ и знаменатель 30 не могут быть взаимно простыми, так как для выполнения условия задачи оба должны делиться на 3.

Ответ:

Для дроби $\frac{n}{20}$ — да, могут.

Для дроби $\frac{c}{30}$ — нет, не могут.