Главная / 6 класс / Математика Виленкин / 1.184

Упражнение 1.184 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

В классе 7 человек хорошо умеют плавать. Сколькими способами из них можно отобрать трёх человек для участия в школьных соревнованиях?

Краткое решение

Порядок, в котором отбирают спортсменов, не важен, поэтому используем формулу сочетаний CnkC_n^k из n=7n=7 по k=3k=3.

C73=7!3!⋅(7−3)!=7!3!⋅4!C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!}
C73=7⋅6⋅53⋅2⋅1=7⋅6⋅56C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6}
C73=7⋅5=35(способов)C_7^3 = 7 \cdot 5 = 35 (\text{способов})

Ответ: 35 способами.

Подробное решение

Правило: Это задача по комбинаторике. Так как порядок, в котором отбирают трёх человек (например, Иванов, Петров, Сидоров или Петров, Иванов, Сидоров), не имеет значения, мы должны использовать формулу сочетаний.

Формула для числа сочетаний из nn элементов по kk:

Cnk=n!k!⋅(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

1. Определим nn и kk.

  • nn — общее число пловцов, из которых выбирают. n=7n = 7.
  • kk — сколько пловцов нужно отобрать. k=3k = 3.

2. Подставим значения в формулу.

C73=7!3!⋅(7−3)!=7!3!⋅4!C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!}

3. Выполним вычисления.

Знак !! (факториал) означает произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно (например, 4!=4⋅3⋅2⋅14! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1).

Распишем 7!7! до 4!4!, чтобы удобно сократить:

C73=7⋅6⋅5⋅4!3!⋅4!C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!}

Сокращаем 4!4! в числителе и знаменателе:

C73=7⋅6⋅53!C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!}

Распишем 3!3!:

C73=7⋅6⋅53⋅2⋅1=7⋅6⋅56C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6}

Сокращаем 6:

C73=7⋅5=35C_7^3 = 7 \cdot 5 = 35

Ответ: Существует 35 способов отобрать трёх человек из семи.

💡 Похожие задачи

Задачи на комбинаторику (сочетания и перестановки):

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...