Это известный прием "телескопической суммы". Каждое слагаемое представляется как разность двух дробей, благодаря чему промежуточные члены сокращаются.
1. Проверка равенств
Проверим первое: 21⋅(31−51)=21⋅(155−153)=21⋅152=151.
Слева тоже 31⋅51=151. Верно.
Остальные равенства проверяются аналогично. Общая формула: n1⋅n+21=21(n1−n+21).
2. Доказательство суммы
Запишем сумму, используя проверенное свойство (вынесем 21 за общие скобки):
S=21[(31−51)+(51−71)+⋯+(131−151)].
Раскроем внутренние скобки. Соседние слагаемые с разными знаками (−51 и +51 и т.д.) взаимно уничтожаются.
Остается только первое и последнее слагаемое:
S=21(31−151).
Вычислим в скобках:
31−151=155−151=154.
Умножим на 21:
S=21⋅154=152.
Равенство доказано.
