Упражнение 5.21 - ГДЗ Математика 5 класс Виленкин

Справедливы ли равенства:
$1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2$ ;
$1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2$ ;
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2$ ?
Сформулируйте свойство, записанное этими равенствами.
Проверьте, выполняется ли это свойство для семи чисел.

Краткое решение

а)

1) $1 + 8 = 9$ ; $3^2 = 9$ . (Да).

2) $1 + 8 + 27 = 36$ ; $6^2 = 36$ . (Да).

3) $1 + 8 + 27 + 64 = 100$ ; $10^2 = 100$ . (Да).

б) Сумма кубов последовательных чисел равна квадрату их суммы.

в) Для 7 чисел:

Сумма: $1+2+3+4+5+6+7 = 28$ . Квадрат: $28^2 = 784$ .

Кубы: $1+8+27+64+125+216+343 = 784$ .

Ответ: равенства верны; свойство выполняется.

Подробное решение

Сначала выполняем действия возведения в степень, затем сложение. Для выражений в скобках сначала находим сумму внутри, а потом возводим её в квадрат.

а) Проверка равенств

$1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$ .
$(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$ .
Верно.
$1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$ .
$(1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36$ .
Верно.
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 36 + 64 = 100$ .
$(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100$ .
Верно.

б) Формулировка свойства

Сумма кубов последовательных натуральных чисел (начиная с 1) равна квадрату суммы этих чисел.

в) Проверка для 7 чисел

Нам нужно проверить равенство:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)^2$ .

1. Считаем правую часть (квадрат суммы):

Сумма чисел: $1+2+3+4+5+6+7 = 28$ .

$28^2 = 28 \cdot 28 = 784$ .

2. Считаем левую часть (сумма кубов):

Складываем: $100 + 125 + 216 + 343 = 225 + 216 + 343 = 441 + 343 = 784$ .

Вывод: $784 = 784$ . Свойство выполняется.

Окончательный ответ: свойство верно.

Краткое решение